chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài ghi chép Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng với cách thức giải cụ thể chung học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện bài bác tập dượt Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Bạn đang xem: chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vô cùng hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vô cùng hay

Muốn minh chứng đương trực tiếp d ⊥ (α) tớ rất có thể người sử dụng môt nhập nhị cơ hội sau.

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai tuyến đường trực tiếp a; b hạn chế nhau nhập (α) .

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng liền mạch a nhưng mà a vuông góc với (α) .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai tuyến đường trực tiếp vuông góc

- Để minh chứng d ⊥ a, tớ rất có thể minh chứng vày một trong số cơ hội sau:

   + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa chấp a.

   + Sử dụng ấn định lí tía lối vuông góc.

   + Sử dụng những cơ hội minh chứng đang được biết tại vị trí trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC sở hữu SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là lối cao của tam giác SAB. Khẳng ấn định nào là tại đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Hướng dẫn giải

Chọn C

Vậy câu C sai.

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC sở hữu ABC là tam giác vuông bên trên B và SA ⊥ (ABC). Khẳng ấn định nào là sau đấy là đích nhất.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD sở hữu AB = AC và DB = DC. Khẳng ấn định nào là tại đây đúng?

A. AB ⊥ (ABC)

B. AB ⊥ BD

C. AB ⊥ (ABD)

D. BC ⊥ AD

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác DCB cân nặng bên trên D sở hữu DE là lối trung tuyến nên đồng thời là lối cao: DE ⊥ BC.

Tam giác ABC cân nặng bên trên A sở hữu AE là lối trung tuyến nên đôi khi là lối cao : AE ⊥ BC

Khi bại liệt tớ sở hữu

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Số những mặt mày của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:

A. 1                   B. 2                   C. 3                   D. 4

Hướng dẫn giải

Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông bên trên B

Ta sở hữu SA ⊥ (ABC) ⇒ là những tam giác vuông bên trên A

Mặt không giống là tam giác vuông bên trên B

Vậy tư mặt mày của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi tâm O. thạo SA = SC và SB = SD. Khẳng ấn định nào là tại đây sai?

A. SO ⊥ (ABCD)

B. CD ⊥ (SBD)

C. AB ⊥ (SAC)

D. CD ⊥ AC

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tam giác SAC cân nặng bên trên S sở hữu SO là trung tuyến nên SO cũng chính là lối cao ⇒ SO ⊥ AC .

Tam giác SBD cân nặng bên trên S sở hữu SO là trung tuyến nên SO cũng chính là lối cao ⇒ SO ⊥ BD .

Từ bại liệt suy đi ra SO ⊥ (ABCD) .

Do ABCD là hình thoi nên CD ko vuông góc với BD. Do bại liệt CD ko vuông góc với (SBD)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AE, AF theo thứ tự là những lối cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn xác định đích trong số xác định sau ?

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Ta minh chứng phương án D đích.

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC sở hữu cạnh SA ⊥ (ABC) và lòng ABC là tam giác cân nặng ở C . Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và SB . Khẳng ấn định nào là tại đây sai?

A. CH ⊥ SA                 B. CH ⊥ SB                 C. CH ⊥ AK                 D. AK ⊥ SB

Hướng dẫn giải

Chọn D

Do tam giác ABC cân nặng bên trên C; sở hữu CH là lối trung tuyến nên đôi khi là lối cao nên CH ⊥ AB.

Lại có: CH ⊥ SA (vì SA vuông góc với mp(ABC)) .

Suy đi ra CH ⊥ (SAB). Vậy những câu A, B, C đích nên D sai.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD) . thạo H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng ấn định nào là tại đây đúng?

A. CD ⊥ BD                 B. AC = BD                 C. AB = CD.                 D. AB ⊥ CD

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) . Đối với tam giác ABC tớ sở hữu điểm H là:

A. Trực tâm.

B. Tâm lối tròn trặn nội tiếp.

C. Trọng tâm.

D. Tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC sở hữu OA, OB, OC song một vuông góc cùng nhau. Gọi H là hình chiếu của O bên trên mp(ABC) . Mệnh đề nào là sai trong số mệnh đề sau:

A. H là trực tâm tam giác ABC

B. H là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC

C.

D. CH là lối cao của tam giác ABC .

Hướng dẫn giải

+ Ta sở hữu OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự động, tớ sở hữu AB ⊥ CH

Hai đường thẳng liền mạch AH và CH hạn chế nhau bên trên H nên H là trực tâm tam giác ABC

suy đi ra đáp án A, D đúng

+ Gọi I là kí thác điểm của AH và BC .

Ta sở hữu ; OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OI

Xét tam giác vuông OAI sở hữu lối cao OH Ta có

suy đi ra đáp án C đích.

Chọn đáp án B

Quảng cáo

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC sở hữu ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC). Chọn xác định đích trong số xác định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Hướng dẫn giải

Gọi SA = SB = SC = a

+ Ta sở hữu : tam giác SAC đều nên AC = SA = a

Tam giác SAB vuông cân nặng bên trên S ⇒ AB = a√2

+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm

đường tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC .

Ta sở hữu : SA = SB = SC và IA = IB = IC

⇒ SI là trục lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC

⇒ SI ⊥ (ABC)

Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt phẳng lặng (ABC)

Chọn D

C. Bài tập dượt vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD sở hữu AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD) . Các xác định sau, xác định nào là sai?

A. H là trực tâm tam giác BCD

B. CD ⊥ (ABH)

C. AD ⊥ BC

D. Các xác định bên trên đều sai.

Lời giải:

Ta sở hữu

Tương tự động BD ⊥ CH

Suy đi ra H là trực tâm tam giác BCD. Suy đi ra loại đáp án A, B

Ta sở hữu suy đi ra loại C.

Chọn đáp án D

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA ⊥ (ABC). Gọi H, K theo thứ tự là trực tâm những tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào là sai trong số mệnh đề sau?

A. BC ⊥ (SAH)                 B. HK ⊥ (SBC)

C. BC ⊥ (SAB)                 D. SH, AK và BC đồng quy

Lời giải:

Ta sở hữu BC ⊥ SA, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH)

Ta sở hữu CK ⊥ AB, CK ⊥ SA ⇒ CK ⊥ (SAB) hoặc CK ⊥ SB

Mặt không giống sở hữu CH ⊥ SB nên suy đi ra SB ⊥ (CHK) hoặc SB ⊥ HK, tương tự động SC ⊥ HK nên HK ⊥ (SBC)

Gọi M là kí thác điểm của SH và BC.

Do BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AM hoặc đường thẳng liền mạch AM trùng với đường thẳng liền mạch AK

⇒ SH, AK và BC đồng quy

Do dó BC ⊥ (SAB). Sai

Chọn đáp án C

Xem thêm: nguồn lao động nước ta hiện nay

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi tâm O. thạo SA = SC và SB = SD. Khẳng ấn định nào là sau đấy là sai?.

A. SO ⊥ (ABCD)

B. SO ⊥ AC

C. SO ⊥ BD

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Ta sở hữu O là trung điểm của AC và SA = SC ⇒ SO ⊥ AC

Tương tự động SO ⊥ BD

Vậy

Chọn D

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các xác định sau, xác định nào là sai?

A. SA ⊥ BD                 B. SC ⊥ BD                 C. SO ⊥ BD                 D. AD ⊥ SC

Lời giải:

Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC) hoặc BD ⊥ SC, BD ⊥ SO

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn và SA ⊥ (ABCD). Gọi I; J; K theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng ấn định nào là tại đây sai?

A. (IJK) // (SAC)

B. BD ⊥ (IJK)

C. Góc thân thiện SC và BD sở hữu số đo 60°

D. BD ⊥ (SAC)

Lời giải:

Chọn C.

+ Tam giác ABC sở hữu IJ Là lối tầm của tam giác nên IJ // AC

Tam giác SAB sở hữu IK là lối tầm của tam giác nên IK // SA

⇒ (IJK) // (SAC). Vậy A đúng

+ Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC)

nên D đích.

+ Do BD ⊥ (SAC) và (IJK) // (SAC) nên BD ⊥ (IJK) nên B đích.

Vậy C sai

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ (ABCD). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng ấn định nào là sau đấy là sai?

A. AC ⊥ SH

B. AC ⊥ KH

C. AC ⊥ (SHK)

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

+ Ta cos SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC

+ Tam giác ABD sở hữu H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và AD nên HK là lối trung bình của tam giác ⇒ HK // BD

Lại sở hữu

⇒ AC ⊥ (SHK)

Chọn D

Câu 7: Cho tứ diện OABC sở hữu tía cạnh OA ; OB ; OC song một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng ấn định nào là tại đây sai?

Lời giải:

Xét tam giác AOI vuông bên trên O sở hữu OH lối cao:

Từ (1) và (2) ⇒ H là trực tâm tam giác ABC ⇒ Đáp án C đích.

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD sở hữu AB, BC, CD song một vuông góc nhau. Hãy đã cho thấy điểm O cơ hội đều tư điểm A, B ; C ; D.

A. O là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC

B. O là trọng tâm tam giác ACD

C. O là trung điểm cạnh BD

D. O là trung điểm cạnh AD

Lời giải:

Chọn D

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). thạo H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng ấn định nào là tại đây ko sai?

A. AB = CD                   B. AC = BD                   C. AB ⊥ CD                   D. CD ⊥ BB

Lời giải:

Chọn C

Do AH ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ CD .

Mặt không giống, H là trực tâm tam giác BCD nên BH ⊥ CD

Suy đi ra CD ⊥ (ABH) nên CD ⊥ AB.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, mặt mày mặt SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của những cạnh AB và AD. Khẳng ấn định nào là sau đấy là sai?.

A. SH ⊥ (ABCD)

B. SH ⊥ HC

C. A, B đều đúng

D. A, B là sai

Lời giải:

Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường trực tiếp AC’ vuông góc với mặt mày phẳng lặng nào là sau đây?

A. ( A’BD)                B. ( A’DC’)                C. ( A’CD’)                D. ( A’B’CD)

Lời giải:

Ta có

Vậy lựa chọn đáp án A

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi, O là kí thác điểm của 2 lối chéo cánh và SA = SC. Các xác định sau, xác định nào là đúng?

A. SA ⊥ (ABCD)                 B. BD ⊥ (SAC)

C. AC ⊥ (SBD)                   D. AB ⊥ (SAC)

Lời giải:

Ta có: SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân

Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính hóa học hình thoi)

Khi bại liệt tớ có: AC ⊥ SO

Vậy lựa chọn đáp án C

Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng lặng qua loa A và vuông góc với SC hạn chế SB, SC, SD theo dõi trật tự bên trên H, M, K . Chọn xác định sai trong số xác định sau?

A. AK ⊥ HK                 B. HK ⊥ AM                 C. BD // KH                  D. AH ⊥ SB .

Lời giải:

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC sở hữu ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn xác định đích trong số xác định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Lời giải:

Gọi SA = SB = SC = a

Ta có: tam giác SAC cân nặng có một góc vày 60° nên tam giác SAC đều ⇒ AC = SA = a

+ tam giác SAB vuông cân nặng bên trên S

⇒ AB = a√2

⇒ AC² + AB² = BC² nên tam giác ABC vuông bên trên A

+ Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d trải qua I và d ⊥ (ABC)

Mặt không giống : SA = SB = SC nên S ∈ d . Vậy SI ⊥ (ABC) nên I là hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt phẳng lặng (ABC)

Chọn C

Câu 15: Cho tứ diện OABC sở hữu OA, OB, OC song một vuông góc cùng nhau. Gọi H là hình chiếu của O bên trên mặt mày phẳng lặng ( ABC) . Xét những mệnh đề sau :

I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OC ⊥ (OAB)

II. Do AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OC     (1)

III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH   (2)

IV. Từ (1) và (2) AB ⊥ (OCH)

Trong những mệnh đề bên trên mệnh đề nào là đích ?

A. I, II, III, IV

B. I, II, III

C. II, III, IV

D. I, IV

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 16: Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’ Có lòng là hình thoi ∠BAD = 60° và AA’ = A’B = A’D. Gọi O = AC ∩ BD. Hình chiếu của A’ bên trên (ABCD) là :

A. trung điểm của AO

B. trọng tâm tam giác ABD

C. kí thác của nhị đoạn AC và BD

D. trọng tâm tam giác BCD.

Lời giải:

Vì A’A = A’B = A’D nên hình chiếu của A’ bên trên ( ABCD) trùng với H là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABD (1).

Mà tứ giá chỉ ABCD là hình thoi và ∠BAD = 60° nên tam giác BAD là tam giác đều (2)

Từ (1) và ( 2) suy đi ra H là trọng tâm tam giác ABD

Chọn đáp án B

Săn SALE shopee mon 7:

• Đồ người sử dụng tiếp thu kiến thức giá khá mềm
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3